Beispiel mit einer Ungleichung Beispiel mit Teilbarkeit
Wir zeigen nun ein Beispiel für einen Beweis mit einer Teilbarkeitsaussage.
Beispiel:
Wir zeigen mit vollständiger Induktion die folgende Aussage für \(n\ge 0\):
\(\qquad\) | \(5^n+7\) ist durch \(4\) teilbar |
Entwicklung des Ausdrucks
Zum besseren Verständnis der Aussage schauen wir uns die Entwicklung des Ausdrucks genauer an.
\(5^n+7\) ist durch \(4\) teilbar
\(\enspace n\enspace\) | \(5^n+7 \) | Teilbarkeit durch \(4\) |
\(0\) | \(5^0+7=1+7=8\) | \(8=2\cdot 4\) |
\(1\) | \(5^1+7=5+7=12\) | \(12=3\cdot 4\) |
\(2\) | \(5^2+7=25+7=32\) | \(32=8\cdot 4\) |
\(3\) | \(5^3+7=125+7=132\) | \(132=33\cdot 4\) |
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Für \(n=0\) gilt:
Also ist \(5^0+7\) durch \(4\) teilbar. Der Induktionsanfang ist somit gezeigt. | |||||||||||||||||||||||
Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung:
Induktionsbehauptung:
Induktionsbeweis:
Durch den Induktionsbeweis haben wir gezeigt, dass der Induktionsschritt richtig ist und die Aussage nun wegen der vollständigen Induktion für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\ge 0\) wahr ist. | |||||||||||||||||||||||
\(\blacksquare\) |
\(\enspace\)