Lernmodul: Beweisprinzipien

Functions

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Beispiel mit einer Ableitung

Wir zeigen nun ein Beispiel für einen Beweis einer Ableitungsformel mithilfe der vollständigen Induktion. Ableitungsregeln finden Sie im Kurs "Differential- und Integralrechnung".
Beispiel:
Wir zeigen mit vollständiger Induktion die folgende Aussage für \(n\ge 1\):
\(\qquad\)
Die \(n\)-te Ableitung von
\(\qquad f(x)=\dfrac{1}{1-x}\)
ist
\(\qquad f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\)
Benutzt wird hierbei der Begriff der Fakultät: \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n\)
Zum besseren Verständnis der Aussage schauen wir uns die Entwicklung der \(n\)-ten Ableitungen genauer an.
\(f(x)=\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\)
\(\enspace n\enspace\)
\(f^{n}(x)\)
\(\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\)
\(1\)
\((-1)\cdot(1-x)^{-2}\cdot (-1)\) \(=(1-x)^{-2}\) \(=\dfrac{1}{(1-x)^2}\)
\(\dfrac{1!}{(1-x)^{1+1}}\) \(=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}\)
\(2\)
\((-2)\cdot(1-x)^{-3}\cdot (-1)\) \(=2\cdot(1-x)^{-3}\) \(=\dfrac{2}{(1-x)^3}\)
\(\dfrac{2!}{(1-x)^{2+1}}\) \(=\dfrac{2}{(1-x)^{3}}\)
\(3\)
\(2\cdot(-3)\cdot(1-x)^{-4}\cdot (-1)\) \(=6\cdot(1-x)^{-4}\) \(=\dfrac{6}{(1-x)^4}\)
\(\dfrac{3!}{(1-x)^{3+1}}\) \(=\dfrac{6}{(1-x)^{4}}\)
\(4\)
\(6\cdot(-4)\cdot(1-x)^{-5}\cdot (-1)\) \(=24\cdot (1-x)^{-5}\) \(=\dfrac{24}{(1-x)^5}\)
\(\dfrac{4!}{(1-x)^{4+1}}\) \(=\dfrac{24}{(1-x)^{5}}\)
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
Linke Seite:
\(\qquad\)
\(f^{(1)}(x)=(-1)\cdot(1-x)^{-2}\cdot (-1)=(1-x)^{-2}\) \(=\dfrac{1}{(1-x)^2}\)
Rechte Seite:
\(\qquad\)
\(\dfrac{1!}{(1-x)^{1+1}}\) \(=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}\)
Der Induktionsanfang ist somit gezeigt.
Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
\(\qquad\)
Wir nehmen an, dass für ein festes, aber beliebiges \(n\) gilt:
\(\qquad\)
\(f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\qquad (*)\)
Induktionsbehauptung:
\(\qquad\)
Wir behaupten, dass dann auch gilt:
\(\qquad\)
\(f^{(n+1)}(x)=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}}=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}\)
Induktionsbeweis:
\(\qquad\)
\(f^{(n+1)}(x)=(\underbrace{f^{n}(x)}_{(*)})'\)
\(\qquad\)
Wir setzen die Induktionsvoraussetzung \((*)\) ein und erhalten:
\(\qquad\)
\(f^{(n+1)}(x)=\left(\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}\right)'=\left(n!\cdot(1-x)^{-(n+1)}\right)'\)
\(\qquad\)
Wir leiten nun ab:
\(\qquad\)
\(f^{(n+1)}(x)\) \(=n!\cdot (-(n+1))\cdot(1-x)^{-(n+1)-1}\cdot (-1)\) \(=n!\cdot (n+1)\cdot(1-x)^{-(n+1)-1}\)
\(\qquad\)
Wir ziehen den Term \(-1\) als \(+1\) in die Klammer des Exponenten und ersetzen \(n!\cdot (n+1)\) durch \((n+1)!\). Damit erhalten wir:
\(\qquad\)
\(f^{(n+1)}(x)\) \(=(n+1)!\cdot(1-x)^{-(n+1+1)}\) \(=(n+1)!\cdot(1-x)^{-(n+2)}\)
\(\qquad\)
Nun schreiben wir das Produkt wieder als Bruch, wodurch sich das Vorzeichen des Exponenten ändert:
\(\qquad\)
\(f^{(n+1)}(x)=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}\)
\(\qquad\)
Hiermit ist die Behauptung bewiesen.
Durch den Induktionsbeweis haben wir gezeigt, dass der Induktionsschritt richtig ist und die Aussage nun wegen der vollständigen Induktion für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\ge 1\) wahr ist.
\(\blacksquare\)
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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