Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Linke Seite: \(\qquad\) | \(f^{(1)}(x)=((e^x+4)^2)'\) \(=2\cdot (e^x+4)\cdot e^x=2\cdot e^x \cdot e^x+2\cdot 4\cdot e^x=2\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\) |
Rechte Seite: \(\qquad\) | \(2^1\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\) \(=2\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\) |
Der Induktionsanfang ist somit gezeigt. | |
Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung: \(\qquad\) | Wir nehmen an, dass für ein festes, aber beliebiges \(n\) gilt: |
\(\qquad\) | \(f^{(n)}(x)=2^n\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\qquad (*)\) |
Induktionsbehauptung: \(\qquad\) | Wir behaupten, dass dann auch gilt: |
\(\qquad\) | \(f^{(n+1)}(x)=2^{n+1}\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\) |
Induktionsbeweis: \(\qquad\) | \(f^{(n+1)}(x)=(\underbrace{f^{n}(x)}_{(*)})'\) |
\(\qquad\) | Wir setzen die Induktionsvoraussetzung \((*)\) ein und erhalten: |
\(\qquad\) | \(f^{(n+1)}(x)=\left(2^n\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\right)'\) |
\(\qquad\) | Wir leiten nun ab: |
\(\qquad\) | \(f^{(n+1)}(x)=2^n\cdot e^{2x}\cdot 2+8\cdot e^x\) |
\(\qquad\) | Wir fassen nun die Potenzen zur Basis \(2\) zusammen und erhalten: |
\(\qquad\) | \(f^{(n+1)}(x)=2^{n+1}\cdot e^{2x}+8\cdot e^x\) |
\(\qquad\) | Hiermit ist die Behauptung bewiesen. |
Durch den Induktionsbeweis haben wir gezeigt, dass der Induktionsschritt richtig ist und die Aussage nun wegen der vollständigen Induktion für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\ge 1\) wahr ist. | |
| \(\blacksquare\) |
Aufgabe 1 
Lernmodul: Beweisprinzipien
1 Einleitung