Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Linke Seite: \(\qquad\) | \(\large\sum\limits_{i=0}^{0} \normalsize 2^i=2^0=1\) |
Rechte Seite: \(\qquad\) | \(2^{0+1}-1=2-1=1\) |
Der Induktionsanfang ist somit gezeigt. | |
Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung: \(\qquad\) | Wir nehmen an, dass für ein festes, aber beliebiges \(n\) gilt: |
\(\qquad\) | \(\large\sum\limits_{i=0}^{n} \normalsize 2^i=2^{n+1}-1\qquad (*)\) |
Induktionsbehauptung: \(\qquad\) | Wir behaupten, dass dann auch gilt: |
\(\qquad\) | \(\large\sum\limits_{i=0}^{n+1} \normalsize 2^i=2^{n+2}-1\) |
Induktionsbeweis: \(\qquad\) | \(\large\sum\limits_{i=0}^{n+1} \normalsize 2^i=\Bigg(\underbrace{\large\sum\limits_{i=0}^{n} \normalsize 2^i }_{(*)} \Bigg)+ \left(\large\sum\limits_{i=n+1}^{n+1} \normalsize 2^i\right)\) |
\(\qquad\) | Wir setzen die Induktionsvoraussetzung \((*)\) ein: |
\(\qquad\) | \(\large\sum\limits_{i=0}^{n+1} \normalsize 2^i=2^{n+1}-1+ 2^{n+1}\) |
\(\qquad\) | Nun fassen wir die Potenzen zur Basis \(2\) zusammen: |
\(\qquad\) | \(\large\sum\limits_{i=0}^{n+1} \normalsize 2^i=2\cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1\) |
\(\qquad\) | Hiermit ist die Behauptung bewiesen. |
Durch den Induktionsbeweis haben wir gezeigt, dass der Induktionsschritt richtig ist und die Aussage nun wegen der vollständigen Induktion für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\ge 0\) wahr ist. | |
| \(\blacksquare\) |
Aufgabe 2 
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Lernmodul: Beweisprinzipien
1 Einleitung