Methoden zum Beweisen und zum Vereinfachen Neutralitäts- und Dominanzgesetze
Wir betrachten nun Äquivalenzen mit nur einer Aussagenvariablen. Hierzu zählen auch die Idempotenzgesetze und die im folgenden Abschnitt aufgeführten Gesetze über Negationen. Die einfachsten Äquivalenzen mit nur einer Aussagenvariablen werden wir nun tabellarisch auflisten:
Für die Formel \(\alpha\) gelten die folgenden Tautologien:
Neutralitätsgesetze:
- \((\alpha \lor \mathrm{f}) \iff \alpha\)
- \((\alpha \land \mathrm{w}) \iff \alpha\)
Dominanzgesetze:
- \((\alpha \lor \mathrm{w}) \iff \mathrm{w}\)
- \((\alpha \land \mathrm{f}) \iff \mathrm{f}\)
Beweise
Diese einfachen Regeln können wir alle mit Wahrheitstabellen nachweisen.
Beweis des 1. Neutralitätsgesetzes:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \lor \mathrm{f}) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \alpha \lor \mathrm{f}& (\alpha \lor \mathrm{f}) \iff \alpha \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Beweis des 2. Neutralitätsgesetzes:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \land \mathrm{w}) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \alpha \land \mathrm{w}& (\alpha \land \mathrm{w}) \iff \alpha \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Beweis des 1. Dominanzgesetzes:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \lor \mathrm{w}) \iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \alpha \lor \mathrm{w} &\mathrm{w}& (\alpha \lor \mathrm{w}) \iff \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Beweis des 2. Dominanzgesetzes:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \land \mathrm{f}) \iff \mathrm{f}\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \alpha \land \mathrm{f} &\mathrm{f}& (\alpha \land \mathrm{f}) \iff \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Die Neutralitätsgesetze sagen aus, dass der Wahrheitswert \(\mathrm{f}\) das neutrale Element der Oder-Verknüpfung ist, wie die Zahl \(0\) das neutrale Element der Addition bei den reellen Zahlen, und dass der Wahrheitswert \(\mathrm{w}\) das neutrale Element der Und-Verknüpfung ist, wie die Zahl \(1\) das neutrale Element der Multiplikation bei den reellen Zahlen.
Die Dominanzgesetze bedeuten, dass die Oder-Verknüpfung einer Aussage mit dem Wahrheitswert \(\mathrm{w}\) immer wahr ist, und dass die Und-Verknüpfung einer Aussage mit dem Wahrheitswert \(\mathrm{f}\) immer falsch ist, dass also der Wahrheitswert dominant für die Verknüpfung ist.
Angewandt werden die Regeln beim Umformen zusammengesetzter Aussagen in eine einfachere Form. Wir werden zu einem späteren Zeitpunkt darauf zurückkommen.
Beispiel:
Unsere Aussage lautet "Der Hahn kräht auf dem Mist.". Egal mit welcher Aussage wir unsere Aussage verknüpfen, solange sie mit einer wahren Aussage verknüpft wird, wird die verknüpfte Aussage den gleichen Wahrheitswert haben wie unsere Aussage.
Die Und-Verknüpfung "Der Hahn kräht auf dem Mist und die Erde ist ein Planet." ist eine wahre Aussage, wenn der Hahn tatsächlich auf dem Mist kräht, und eine falsche Aussage, wenn der Hahn nicht auf dem Mist kräht, da die Erde ein Planet ist.
Die Oder-Verknüpfung "Der Hahn kräht auf dem Mist oder die Erde ist eine Scheibe." ist eine wahre Aussage, wenn der Hahn tatsächlich auf dem Mist kräht, und eine falsche Aussage, wenn der Hahn nicht auf dem Mist kräht, da die Erde keine Scheibe ist (also da die Aussage, dass die Erde eine Scheibe ist, falsch ist).
\(\enspace\)