Neutralitäts- und Dominanzgesetze Idempotenzgesetze
Idempotenzgesetze für \(\lor\) und \(\land\):
Für die Formel \(\alpha\) gelten die folgenden Tautologien:
- \((\alpha \lor \alpha) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie
- \((\alpha \land \alpha) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie
Beweise
Beweis des 1. Idempotenzgesetzes:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \lor \alpha) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \alpha \lor \alpha & (\alpha \lor \alpha) \iff \alpha \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Beweis des 2. Idempotenzgesetzes:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \land \alpha) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \alpha \land \alpha & (\alpha \land \alpha) \iff \alpha \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Man kann die Idempotenzgesetze so interpretieren: Wenn man etwas zweimal sagt, so kann man es auch einmal sagen. Die Idempotenzgesetze werden zur Vereinfachung von Aussagen herangezogen.
Beispiel:
Aussage \(A\) lautet:
\(\qquad\) | \(A\enspace :\enspace\)Es schneit. |
Dann bedeutet
\(\qquad\) | \((A \land A) \iff A\) |
\(\qquad\) | Es schneit und schneit genau dann, wenn es schneit. |
Dies ist immer eine wahre Aussage.
\(\enspace\)