Idempotenzgesetze Gesetze über Negationen
Weitere Äquivalenzen mit nur einer Aussagenform sind die Regeln über Negationen.
Gesetze über Negationen:
Für die Formel \(\alpha\) gelten die folgenden Tautologien:
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Gesetz der doppelten Negation: \((\lnot (\lnot \alpha)) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Satz vom ausgeschlossenen Dritten: \((\alpha \lor \lnot \alpha)\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Satz vom Widerspruch: \((\lnot(\alpha \land \lnot \alpha))\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Beweise
Beweis des Gesetzes der doppelten Negation:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\lnot (\lnot \alpha)) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \lnot \alpha & \lnot(\lnot \alpha ) & (\lnot(\lnot \alpha)) \iff A \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Beweis des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\alpha \lor \lnot \alpha)\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \lnot \alpha & \alpha \lor \lnot \alpha & (\alpha \lor \lnot \alpha)\iff \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Beweis des Satzes vom Widerspruch:
Wir beweisen:
\(\qquad\) | \((\lnot(\alpha \land \lnot \alpha))\iff\mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha &\hspace{-0.8em} & \lnot \alpha & \alpha \land \lnot \alpha & \lnot(\alpha \land \lnot \alpha) & (\lnot(\alpha \land \lnot \alpha))\iff \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
\(\enspace\)