Gesetze über Negationen Gesetz der doppelten Negation
Das Gesetz der doppelten Negation wird auch Prinzip der doppelten Negation oder Regel der doppelten Verneinung genannt.
Gesetz der doppelten Negation:
Für die Formel \(\alpha\) gilt:
\(\qquad\) | \((\lnot (\lnot \alpha)) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Die Regel der doppelten Verneinung ist fast unmittelbar einsichtig. Eine solche Operation wirkt so ähnlich wie das doppelte Betätigen eines Ein/Aus-Schalters: Am Ende herrscht wieder der ursprüngliche Zustand. Im konkreten Falle bedeutet das, dass eine doppelte Verneinung den ursprünglichen Wahrheitswert nicht ändert.
In der Umgangssprache bedeutet eine doppelte Verneinung eine Bejahung. Es gibt jedoch andere Sprachen und auch Dialekte in Deutschland, in denen eine doppelte Verneinung eine besonders starke Verneinung ausdrückt, wie z.B. "Nein, das würde ich nie und nimmer nicht tun!". Wir können solche Sprachkonstrukte in der mathematischen Logik nicht erfassen und beschränken uns auf Aussagen, bei denen eine doppelte Verneinung eine Bejahung bedeutet.
Beispiel:
Wir betrachten eine Aussage mit dem Wahrheitswert wahr:
\(\qquad\) | \(A : 6 \) ist eine gerade Zahl |
Die einfache Verneinung formulieren wir folgendermaßen:
\(\qquad\) | \(\lnot A : 6\) ist eine ungerade Zahl |
Offensichtlich ist die so entstandene Aussage falsch.
Die doppelte Verneinung können wir dann in folgender Weise formulieren:
\(\qquad\) | \(\lnot (\lnot A) : 6\) ist keine ungerade Zahl |
Offensichtlich ist die so entstandene Aussage wieder wahr – ebenso wie die ursprüngliche Aussage.
\(\enspace\)