Satz vom ausgeschlossenen Dritten Satz vom Widerspruch
Der Satz vom Widerspruch wird auch Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch genannt. Er besagt, dass eine Aussage nicht den gleichen Wahrheitswert wie ihr Gegenteil haben kann.
Satz vom Widerspruch:
Für die Formel \(\alpha\) gilt:
\(\qquad\) | \((\lnot(\alpha \land \lnot \alpha))\iff\mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Man kann den Satz vom Widerspruch auch als Kontradiktion ausdrücken:
\(\qquad\) | \((\alpha \land \lnot \alpha)\) ist eine Kontradiktion |
Der Satz vom Widerspruch lässt sich durch die Anwendung der Gesetze von De Morgan, dem Gesetz der doppelten Negation und der Kommutativgesetze in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umformen.
Umformung zum Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Wir beginnen beim Satz vom Widerspruch:
\(\qquad\) | \((\lnot(\alpha \land \lnot \alpha))\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Durch Anwendung der Gesetze von De Morgan erhalten wir:
\(\qquad\) | \((\lnot \alpha \lor \lnot (\lnot \alpha))\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Nun wenden wir das Gesetz der doppelten Negation an, woraus folgt:
\(\qquad\) | \((\lnot \alpha \lor \alpha)\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Unter Anwendung des Kommutativgesetzes ergibt sich schließlich der Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
\(\qquad\) | \((\alpha \lor \lnot\alpha)\iff \mathrm{w}\enspace\) ist eine Tautologie |
Beispiel:
Bezeichnen wir mit \(A\) die folgende Aussage:
\(\qquad\) | \(A :\enspace\)Es regnet. |
Dann bedeutet die Negation dieser Aussage:
\(\qquad\) | \(\lnot A :\enspace\) Es regnet nicht. |
Die Konjunktion
\(\qquad\) | \(A \land \lnot A :\enspace\) Es regnet und es regnet nicht. |
ist eine widersprüchliche Aussage, also eine Kontradiktion. Dann ist die Negation dieser Aussage eine Tautologie.
\(\enspace\)