Regeln zur Disjunktion und Konjunktion Kommutativgesetze für ᴧ und v
Bei der Oder- und der Und-Verknüpfung können die einzelnen Teilaussagen vertauscht werden, das Ergebnis bleibt das gleiche. Die Disjunktion und die Konjunktion sind also kommutative Verknüpfungen. Auch die Äquivalenz ist eine kommutative Verknüpfung, die Implikation hingegen nicht.
Kommutativgesetze für \(\lor\) und \(\land\):
Für die Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) gelten die folgenden Tautologien:
- \((\alpha \lor \beta) \iff (\beta \lor \alpha)\enspace\) ist eine Tautologie
- \((\alpha \land \beta) \iff (\beta \land \alpha)\enspace\) ist eine Tautologie
Beispiel:
Wir zeigen die Kommutativität der Äquivalenz, d.h. wir zeigen, dass die folgende Aussage
\(\qquad\) | \((\alpha \iff \beta) \iff (\beta \iff \alpha)\) |
eine Tautologie ist.
Wir bilden hierzu die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \hspace{-0.8em} & \alpha \iff \beta & \beta \iff \alpha & (\alpha \iff \beta) \iff (\beta \iff \alpha)\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die rechte Spalte der Wahrheitstabelle enthält nur die Wahrheitswerte wahr. Somit handelt es sich um eine Tautologie.
Beispiel:
Wir zeigen, dass die Implikation nicht kommutativ ist, d.h. wir zeigen, dass die folgende Aussage
\(\qquad\) | \((\alpha \implies \beta) \iff (\beta \implies \alpha)\) |
keine Tautologie ist.
Wir bilden hierzu die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \hspace{-0.8em} & \alpha \implies \beta & \beta \implies \alpha & (\alpha \implies \beta) \iff (\beta \implies \alpha)\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die rechte Spalte der Wahrheitstabelle enthält sowohl die Wahrheitswerte wahr als auch falsch. Es handelt sich somit um keine Tautologie.
Erklärung Lösung: Nur \(B\land A\) ist ebenfalls sicher falsch. Erläuterung: \(A\land B\) ist als Konjunktion (Und-Verknüpfung) genau dann wahr, wenn die Aussagen auf beiden Seite von \(\land \) wahr sind. Das heißt aber auch, dass \(A\land B\) schon dann falsch ist, falls (mindestens) eine der beiden Aussagen \(A\) oder \(B\) falsch ist. Wir können in diesem Fall nicht sonderlich viele Folgerungen treffen, da wir nicht genug über die Wahrheitswerte von \(A\) und \(B\) wissen. Die Folgerung für eine Aussage ist uns aber möglich, denn da für \(\land \) das Kommutativgesetz gilt, wissen wir, dass \(A\land B \iff B\land A\) eine Tautologie ist. Das wiederum bedeutet, dass \(A\land B\) und \(B\land A\) die selben Wahrheitswerte haben müssen. Da nach Voraussetzung \(A\land B\) falsch ist, muss somit auch \(B\land A\) auf jeden Fall falsch sein. Die restlichen Antwortmöglichkeiten \(A\), \(\lnot A\) und \(A\lor \lnot B\) können sowohl wahr als auch falsch sein, wie die folgende Wahrheitstabelle zeigt:
Hierbei ist zu beachten, dass es drei mögliche Fälle gibt, in denen \(A\land B\) falsch ist. |  |
\(\enspace\)