Assoziativgesetze für ᴧ und v Distributivgesetze für ᴧ und v
Die Distributivgesetze geben an, wie sich zwei Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten. Das Distributivgesetz ist bereits aus der Arithmetik bekannt und gibt an, wie man ausmultipliziert bzw. ausklammert.
In der Logik gibt es zwei Distributivgesetze, die die Verknüpfung von Konjunktionen und Disjunktionen betreffen. Beim einen Gesetz wird ein Klammerausdruck durch eine Und-Verknüpfung mit dem Term außerhalb der Klammer verknüpft. Innerhalb der Klammer steht eine Oder-Verknüpfung. Beim anderen Gesetz wird ein Klammerausdruck durch eine Disjunktion mit dem Term außerhalb der Klammer verknüpft. Innerhalb der Klammer steht eine Konjunktion.
Distributivgesetze:
Für die Formeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) gelten die folgenden Tautologien:
- \(((\alpha \lor \beta) \land \gamma) \iff ((\alpha \land \gamma) \lor (\beta \land \gamma))\enspace\) ist eine Tautologie
- \(((\alpha \land \beta) \lor \gamma) \iff ((\alpha \lor \gamma) \land (\beta \lor \gamma))\enspace\) ist eine Tautologie
Beispiel:
Oft wendet man Gesetze an, um Aussagen zu vereinfachen. Wir zeigen dies an der Vereinfachung der folgenden Aussage:
\(\qquad\) | \((A\land \lnot B)\lor B \) |
Wir wenden das Distributivgesetz an und erhalten:
\(\qquad\) | \(((A\land \lnot B)\lor B) \iff ((A \lor B) \land (\lnot B \lor B)) \) |
Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten liefert \((\lnot B \lor B)\) immer eine wahre Aussage und nach dem Neutralitätsgesetz können wir bei der Konjunktion auf die wahre Aussage \((\lnot B \lor B)\) verzichten. Wir erhalten also:
\(\qquad\) | \(((A\land \lnot B)\lor B) \iff (A \lor B) \) |
Somit ist \(A \lor B\) die Vereinfachung von \((A\land \lnot B)\lor B\).
Merke:
Da die Und-Verknüpfung und die Oder-Verknüpfung kommutativ sind, können wir die Distributivgesetze auch folgendermaßen schreiben:
Für die Formeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) gelten die folgenden Tautologien:
- \((\gamma \land (\alpha \lor \beta)) \iff ((\gamma \land \alpha) \lor (\gamma \land \beta))\enspace\) ist eine Tautologie
- \((\gamma \lor (\alpha \land \beta)) \iff ((\gamma \lor \alpha) \land (\gamma \lor \beta))\enspace\) ist eine Tautologie
Erklärung Lösung: Die Vereinfachung von \(A\lor(\lnot A\land B)\) ist \(A\lor B\). Erläuterung: Wir vereinfachen die Aussage \(A\lor(\lnot A\land B)\) zunächst, indem wir das Distributivgesetz anwenden. Dies führt zu:
Da die Aussage \(A\lor\lnot A\) immer wahr ist, können wir sie in der obigen Und-Verknüpfung weglassen. Wir erhalten also die folgende Kette von Äquivalenzen:
Somit ist \(A\lor B\) die korrekte Vereinfachung von \(A\lor(\lnot A\land B)\). Dass die anderen Aussagen nicht äquivalent zu \(A\lor(\lnot A\land B)\) sind, kann man leicht sehen, wenn man sich die Wahrheitstabellen der Aussagen anschaut. Nur die Aussage \(A \lor B\) führt zu den gleichen Wahrheitswertkombinationen wie die Aussage \(A \lor (\lnot A \land B)\). Beide Aussagen sind also logisch äquivalent. Wahrheitstabelle zu \(A \lor (\lnot A \land B)\) Wir erstellen die Wahrheitstabelle für die Aussage \(A \lor (\lnot A \land B)\):
Wahrheitstabelle zu \(A \lor B\) Wir erstellen die Wahrheitstabelle für die Aussage \(A \lor B\):
Wahrheitstabelle zu \(\lnot A \lor B\) Wir erstellen die Wahrheitstabelle für die Aussage \(\lnot A \lor B\):
Wahrheitstabelle zu \(A \lor \lnot B\) Wir erstellen die Wahrheitstabelle für die Aussage \(A \lor \lnot B\):
Wahrheitstabelle zu \(\lnot(A \lor B)\) Wir erstellen die Wahrheitstabelle für die Aussage \(\lnot(A \lor B)\):
Wahrheitstabelle zu \(\lnot A \land \lnot B\) Wir erstellen die Wahrheitstabelle für die Aussage \(\lnot A \land \lnot B\):
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