Beispiele Aufgabe 1
Erklärung Lösung: Vereinfacht man \(\left(A\land \left(A\lor B\right)\right)\lor \left(B\land \left(A\lor B\right)\right)\) so weit wie möglich, dann erhält man \(A \lor B\). Erläuterung: Wir vereinfachen die Aussage, indem wir die bekannten Gesetze der Aussagenlogik anwenden. Zunächst verwenden wir das Distributivgesetz. Dieses besagt, dass für drei beliebige Formeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die folgenden Äquivalenzen Tautologien sind:
Setzen wir hier in der ersten Äquivalenz \(\alpha = A\), \(\beta = B\) und \(\gamma = (A\lor B)\) ein, so gilt für unsere Formel:
Hier sehen wir, dass auf beiden Seiten der Konjunktion, also von \(\land\), die gleiche Aussage steht. Wir können hier also das Idempotenzgesetz anwenden. Dieses besagt für eine beliebige Formel \(\alpha\), dass die folgende Äquivalenz eine Tautologie ist:
Setzen wir hier \(\alpha = \left(A\lor B\right)\) ein, so erhalten wir:
Insgesamt haben wir nun also die folgende Äquivalenz gezeigt:
Hier lässt sich die rechte Seite nicht weiter vereinfachen, sodass \(A\lor B\) die vollständige Vereinfachung von \(\left(A\land\left(A\lor B\right)\right)\lor\left(B\land\left(A\lor B\right)\right)\) darstellt. Antwort \((A \land B) \lor (A \lor B)\) Betrachten wir die Antwortmöglichkeit \((A \land B) \lor (A \lor B)\). Mithilfe des Distributivgesetzs formen wir diese Aussage um zu
Wir können aufgrund des Assoziativgesetzes auf Klammern verzichten und erhalten
Unter Verwendung des Kommutativgesetzes erhalten wir
Nun wenden wir noch das Idempotenzgesetz an. Damit erhalten wir
Die erneute Anwendung des Idempotenzgesetzes ergibt
Wir sehen also, dass auch diese Antwortmöglichkeit zur Aussage \(A \lor B\) führt. Trotzdem ist die Antwortmöglichkeit \((A \land B) \lor (A \lor B)\) nicht die korrekte Antwort, da sie sich noch weiter vereinfachen lässt. Antwort \(A \land B\) und \((A\land B) \lor (A \land B)\) Die Antwortmöglichkeiten \(A \land B\) und \((A\land B) \lor (A \land B)\) sind aufgrund des Idempotenzgesetzes logisch äquivalent. Es reicht, an einer konkreten Kombination an Wahrheitswerten zu zeigen, dass die Aussagen nicht den gleichen Wahrheitswert ergeben wie \(A \lor B\). Ist \(A\) wahr und \(B\) falsch, dann ist \(A \land B\) falsch, während \(A \lor B\) wahr ist. Das bedeutet, dass \(A \land B\) (und auch \((A \land B) \lor (A \land B)\)) nicht äquivalent zu \(A \lor B\) ist. Antwort \(A\) Bei der Antwortmöglichkeit \(A\) reicht es, an einer konkreten Kombination an Wahrheitswerten zu zeigen, dass die Aussage nicht den gleichen Wahrheitswert ergibt wie \(A \lor B\). Ist \(A\) falsch und \(B\) wahr, dann ist \(A \lor B\) wahr. Das bedeutet, dass \(A\) nicht äquivalent zu \(A \lor B\) ist. |  |
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