Lernmodul: Gesetze der Aussagenlogik

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Aufgabe 2

Zeigen Sie ohne die Verwendung einer Wahrheitstabelle oder durch Umformungen mithilfe logischer Gesetze, sondern nur durch geeignete Argumentation die Gültigkeit des Absorptionsgesetzes
\(\qquad(\alpha \lor (\alpha \land \beta)) \iff \alpha\enspace\) ist eine Tautologie
Erläuterung:
Wir setzen zur Vereinfachung \(\gamma = \alpha \lor (\alpha \land \beta )\). Wir müssen nachweisen, dass \(\gamma \iff \alpha \) eine Tautologie ist, d.h. dass \(\gamma\) stets denselben Wahrheitswert hat wie \(\alpha\). Dazu unterscheiden wir zwei Fälle:
\(\tiny\blacksquare\quad\)
Fall 1: \(\enspace\alpha\) ist wahr
Dann ist die ganze Oder-Aussage \(\alpha \lor (\alpha \land \beta)\) wahr, d.h. \(\gamma \) hat in diesem Fall denselben Wahrheitswert wie \(\alpha\).
\(\tiny\blacksquare\quad\)
Fall 2: \(\enspace\alpha\) ist falsch
Dann ist die Und-Aussage \((\alpha \land \beta)\) ebenfalls falsch. Das bedeutet, dass die Oder-Aussage \(\gamma \) aus zwei falschen Teilaussagen besteht, nämlich aus \(\alpha\) und \((\alpha \land \beta )\). Damit ist auch \(\gamma\) falsch, d.h. \(\gamma\) hat denselben Wahrheitswert wie \(\alpha\).
Egal, welchen Wahrheitswert \(\alpha\) annimmt, \(\gamma\) wird immer den gleichen Wahrheitswert annehmen. Wir haben also gezeigt, dass die Aussage \(\gamma \iff \alpha\) eine Tautologie ist.
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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