Aufgabe 2 Aufgabe 3
Erklärung Lösung: Die beiden folgenden Aussagen haben die gleiche Bedeutung wie \((K \land B) \lor (H \land B)\):
Erläuterung: Wir übersetzen zunächst die Aussage \((K\land B)\lor (H\land B)\) in natürliche Sprache, indem wir Schritt für Schritt die jeweiligen atomaren Aussagen \(K\) (= "Stefan geht in die Kneipe"), \(H\) (= "Stefan geht nach Hause") und \(B\) (= "Stefan trinkt ein Bier") einsetzen und \(\lor \) durch "oder" und \(\land \) durch "und" ersetzen. Die Teilaussage \((K\land B)\) entspricht so der Aussage "Stefan geht in die Kneipe und trinkt ein Bier.". Die Teilaussage \((H\land B)\) entspricht der Aussage "Stefan geht nach Hause und trinkt ein Bier.". Die komplexe Aussage \((K\land B)\lor (H\land B)\) ist nun gerade eine Disjunktion (Oder-Verknüpfung) dieser beiden Teilaussagen. \(\)Somit ergibt sich die gesamte Übersetzung dadurch, dass wir die beiden Teilaussage mit einem "oder" verbinden. Das ergibt also die Lösung\(\) "Stefan geht in die Kneipe und trinkt ein Bier oder er geht nach Hause und trinkt ein Bier." Nun sehen wir, dass in \((K\land B)\lor (H\land B)\) in beiden Klammern der selbe Junktor \(\land \) und die atomare Aussage \(B\) auftauchen. Außerdem sind die beiden Klammern durch eine Disjunktion \(\lor \) verknüpft. Wir können daher das Distributivgesetz anwenden, um die Aussage umzuschreiben. Das Distributivgesetz besagt, dass für beliebige Formeln \(\alpha, \beta,\gamma\) die folgende Äquivalenz eine Tautologie ist:
Wir können dieses Gesetz nun auf unsere Aussage \((K\land B)\lor (H\land B)\) anwenden und sehen, dass sie äquivalent ist zur Aussage \((K\lor H)\land B\). Hier können wir wegen des Kommutativgesetzes noch die Reihenfolge der Teilaussagen tauschen und erhalten die äquivalente Aussage \(B\land (K\lor H)\). Nun übersetzen wir wie oben diese Aussage in natürliche Sprache, indem wir die atomaren Aussagen und Junktoren ersetzen. So erhalten wir als Übersetzung von \(B\land (K\lor H)\) die Aussage "Stefan trinkt ein Bier und er geht in die Kneipe oder nach Hause.". Da \(B\land (K\lor H)\) äquivalent zu \((K\land B)\lor (H\land B)\) ist, ist diese Übersetzung auch gleichbedeutend mit \((K\land B)\lor (H\land B)\). Die restlichen Aussagen sind keine gleichbedeutenden Übersetzungen von \((K\land B)\lor (H\land B)\) wie man durch Übersetzung der Aussagen in logische Formeln erkennt:
|  |
\(\enspace\)