Zu den bekanntesten Anwendungen der Logik gehört der logische Schluss. Wenn wir logische Schlussfolgerungen treffen, dann gehen wir von bekannten Voraussetzungen aus (Prämissen) und gewinnen daraus unter Verwendung von Schlussregeln neue Aussagen (Konklusionen, Folgesatz).

Die meisten Schlussfolgerungen, die im Alltag getroffen werden, sind nicht logisch. Ärzte schließen aus vorhandenen Symptomen ihrer Patienten auf bestimmte Krankheiten oder Politiker schließen aus Meinungsäußerungen auf Verhaltensweisen der Wähler, um nur zwei Beispiele zu nennen. In beiden Fällen wird nicht nach logischen Regeln geschlossen, sondern auf Grund von Erfahrungen. Man muss sich bei dieser Art Schlussfolgerungen bewusst sein, dass die Konklusionen auch falsch sein können.

Beim logischen Schließen kann es nicht vorkommen, dass die Konklusionen falsch sind. Die Schlussregeln stellen sicher, dass in jedem Fall aus einer wahren Aussage wieder wahre Aussagen folgen.

Wie wir bei der Definition der Implikation im vorhergehenden Lernmodul gesehen haben, legen die Interpretationen der Implikation einen logischen Schluss nahe. Implikationen sind deshalb in der Mathematik besonders wichtig und damit die Frage, wann eine Implikation allgemein gültig oder eine Tautologie ist.

Wir betrachten ein Beispiel, das aus der Schule bekannt sein dürfte:

Hier ist also die Voraussetzung, dass \(\Delta\) ein Dreieck ist, und daraus wird gefolgert, dass die Summe der Innenwinkel in \(\Delta\) immer \(180^\circ\) ist. Betrachten wir also die Aussagen

So bedeutet unser Satz, dass \(A \implies B\) (im Rahmen der klassischen euklidischen Geometrie) allgemeingültig also eine Tautologie ist.