Schlussregeln Definition des Umkehrschlusses
Die erste Schlussregel, die wir erläutern werden, ist der Umkehrschluss.
Umkehrschluss:
Für die Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) gilt die folgende Tautologie:
\(\qquad\) | \((\alpha \implies \beta) \iff (\lnot\beta \implies \lnot \alpha)\enspace\) ist eine Tautologie |
Beweis
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \hspace{-0.8em} & \alpha \implies \beta& \lnot \beta & \lnot \alpha & \lnot \beta \implies \lnot \alpha & (\alpha \implies \beta) \\ & & \hspace{-0.8em} & & & & & \iff (\lnot\beta \implies \lnot \alpha)\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Der Umkehrschluss wird auch Kontrapositionsgesetz genannt. Oft ist es in mathematischen Beweisen einfacher die Kontraposition eines Satzes
\(\qquad\lnot B \implies \lnot A\)
zu beweisen als den eigentlichen Satz
\(\qquad A\implies B\)
Beispiel:
Falls die folgende Aussage
\(\qquad\) | Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, so sind sie auch ähnlich. |
für den Zusammenhang zwischen Ähnlichkeit und Kongruenz von Dreiecken wahr ist, dann gilt auch
\(\qquad\) | Wenn zwei Dreiecke nicht ähnlich sind, dann sind sie auch nicht kongruent. |
\(\enspace\)