Definition des Umkehrschlusses Beispiele
Beispiel:
Aus der Aussage:
\(\qquad\) | Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. |
können wir den folgenden Schluss ziehen:
\(\qquad\) | Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht. |
Es folgt jedoch nicht "Wenn es nicht regnet, ist die Straße nicht nass.". Dies ist eine falsche Schlussfolgerung. Die Straße kann auch aufgrund anderer Ereignisse nass sein, z.B. durch die Straßenreinigung, durch Schneefall oder durch das Ausschütten eines Wassereimers.
Beispiel:
Für alle \(a,b\in\mathbb{N}, a > b\) gilt:
\(\qquad\) | Wenn \(\dfrac{a+b}{a-b}\) unkürzbar ist, dann ist auch \(\dfrac{a}{b}\) unkürzbar. |
Der Umkehrschluss lautet:
\(\qquad\) | Wenn \(\dfrac{a}{b}\) kürzbar ist, dann ist auch \(\dfrac{a+b}{a-b}\) kürzbar. |
Der Umkehrschluss lautet nicht "Wenn \(\dfrac{a+b}{a-b}\) kürzbar ist, dann ist auch \(\dfrac{a}{b}\) kürzbar.". Wir können hier sofort ein Beispiel anbringen, so dass diese Aussage nicht gilt. Falls \(a=5\) und \(b=3\), dann ist \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{5+3}{5-3}=\dfrac{8}{2}\) kürzbar, aber \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{3}\) nicht.
An dieser Stelle geht es nur um die Anwendung des Umkehrschlusses. Die Durchführung der Beweise erfolgt im Lernmodul "Beweisprinzipien".
Erklärung Lösung: Der Umkehrschluss lautet:
Erläuterung: Wir können die Aussage wie folgt zerlegen:
Dann können wir die Aussage
mit den beiden Aussagen \(A\) und \(B\) als Implikation schreiben:
Dann heißt der Umkehrschluss
In Worten ausgedrückt lautet der Umkehrschluss:
Wir können dies durch die Wahrheitstabelle bestätigen.
Die anderen Antwortmöglichkeiten stellen keinen Umkehrschluss zur ursprünglichen Aussage dar. Antwort: Wenn Leonie keinen Lkw fahren darf, so darf sie auch keinen Pkw fahren. Die Antwort "Wenn Leonie keinen Lkw fahren darf, so darf sie auch keinen Pkw fahren." können wir durch \(\lnot A \implies \lnot B\) ausdrücken. Wir bilden die Wahrheitstabelle und zeigen, dass diese Aussage \(\lnot A \implies \lnot B\) und die ursprüngliche Aussage \(A \implies B\) nicht äquivalent sind:
Antwort: Wenn Leonie Pkw fahren darf, so darf sie Lkw fahren. Die Antwort "Wenn Leonie Pkw fahren darf, so darf sie Lkw fahren." können wir durch \(B \implies A\) ausdrücken. Wir bilden die Wahrheitstabelle und zeigen, dass diese Aussage \(B \implies A\) und die ursprüngliche Aussage \(A \implies B\) nicht äquivalent sind:
Antwort: Wenn Leonie keinen Lkw fahren darf, so darf sie trotzdem Pkw fahren. Die Antwort "Wenn Leonie keinen Lkw fahren darf, so darf sie trotzdem Pkw fahren." können wir durch \(\lnot A \implies B\) ausdrücken. Wir bilden die Wahrheitstabelle und zeigen, dass diese Aussage \(\lnot A \implies B\) und die ursprüngliche Aussage \(A \implies B\) nicht äquivalent sind:
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