Beispiele Definition des Kettenschlusses
Eine weitere wichtige Regel für Implikationen ist der Kettenschluss. Er wird auch als Transitivitätsgesetz bezeichnet. Der Kettenschluss wird beim Beweis mit vollständiger Induktion eingesetzt.
Kettenschluss:
Für die Formeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) gilt die folgende Tautologie:
\(\qquad\) | \(((\alpha \implies \beta)\land (\beta \implies \gamma)) \implies (\alpha \implies \gamma)\enspace\) ist eine Tautologie |
Beweis
Wir zerlegen die Aussage
\(\qquad\) | \(((\alpha \implies \beta)\land (\beta \implies \gamma)) \implies (\alpha \implies \gamma)\) |
in zwei Aussagen
\(\qquad\) | \(\mu \enspace : \enspace (\alpha \implies \beta)\land (\beta \implies \gamma)\) |
\(\nu \enspace : \enspace \alpha \implies \gamma\) |
Die Wahrheitstabelle für \(\mu\) lautet:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \gamma & \hspace{-0.8em} & \alpha \implies\beta & \beta \implies \gamma & (\alpha \implies \beta) \\ & & & \hspace{-0.8em} & & & \land \ (\beta \implies \gamma)\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline\end{array}\) |
Die Wahrheitstabelle für \(\nu\) lautet:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \gamma & \hspace{-0.8em} & \alpha \implies \gamma \ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\\hline\end{array}\) |
Danach bilden wir die Implikation \(\mu \implies \nu\) und zeigen, dass diese Aussage eine Tautologie ist.
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \gamma &\hspace{-0.8em} & \mu & \nu & \mu \implies \nu \ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Der Kettenschluss besagt Folgendes: Wenn \(\alpha\) eine hinreichende Bedingung für \(\beta\) ist und \(\beta\) eine hinreichende Bedingung für \(\gamma\), dann ist \(\alpha\) bereits eine hinreichende Bedingung für \(\gamma\). Das heißt, wir dürfen sofort von \(\alpha\) auf \(\gamma\) schließen und \(\beta\) dabei überspringen.
Obigen Kettenschluss mit genau drei Aussagen bezeichnet man auch als Modus barbara.
Beispiel:
Wir haben die folgenden drei Aussagen gegeben:
\(\qquad\) | \(A\enspace : \enspace\)Im Sommer scheint die Sonne. |
\(B\enspace : \enspace\)Es ist heiß. | |
\(C\enspace : \enspace\)Die Schokolade schmilzt. |
Es gelten die folgenden komplexen Aussagen:
\(\qquad\) | \(A \implies B:\enspace\) | Wenn im Sommer die Sonne scheint, ist es heiß. |
\(B \implies C:\enspace\) | Wenn es heiß ist, schmilzt die Schokolade. |
Wir können nun den folgenden Schluss ziehen:
\(\qquad\) | \(((A\implies B) \land (B\implies C)) \implies (A \implies C)\) |
Wenn im Sommer die Sonne scheint, schmilzt die Schokolade. |
Kettenschluss für mehrere Aussagen:
Für die Formeln \(\alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_n\) gilt die folgende Tautologie:
\(\qquad\) | \(((\alpha_1 \implies \alpha_2)\land (\alpha_2 \implies \alpha_3)\land \ldots \land\) \( (\alpha_{n-1}\implies \alpha_n)) \) \(\implies (\alpha_1 \implies \alpha_n)\enspace\) ist eine Tautologie |
\(\enspace\)