Definition des Kettenschlusses Beispiele
Beispiel:
Wir haben die folgenden drei Aussagen gegeben:
\(\qquad\) | \(A\enspace : \enspace\)Es regnet. |
\(B\enspace : \enspace\)Die Straße wird nass. | |
\(C\enspace : \enspace\)Es besteht Rutschgefahr. |
Es gelten die folgenden komplexen Aussagen:
\(\qquad\) | \(A \implies B:\enspace\) | Wenn es regnet, wird die Straße nass. |
\(B \implies C:\enspace\) | Wenn die Straße nass ist, besteht Rutschgefahr. |
Wir können nun den folgenden Schluss ziehen:
\(\qquad\) | \(((A\implies B) \land (B\implies C)) \implies (A \implies C)\) |
Wenn es regnet, besteht Rutschgefahr. |
Beispiel:
Wir haben die folgenden drei Aussagen gegeben:
\(\qquad\) | \(A\enspace : \enspace 16\) ist ein Teiler der natürlichen Zahl \(a\). |
\(B\enspace : \enspace 4\) ist ein Teiler der natürlichen Zahl \(a\). | |
\(C\enspace : \enspace 2\) ist ein Teiler der natürlichen Zahl \(a\). |
Für jede natürliche Zahl \(a\) gelten die folgenden beiden Aussagen:
\(\qquad\) | \(A \implies B:\enspace\) | Wenn \(16\) ein Teiler von \(a\) ist, so ist auch \(4\) ein Teiler von \(a\). |
\(B \implies C:\enspace\) | Wenn \(4\) ein Teiler von \(a\) ist, so ist auch \(2\) ein Teiler von \(a\). |
Wir können nun den folgenden Schluss ziehen:
\(\qquad\) | \(((A\implies B) \land (B\implies C)) \implies (A \implies C)\) |
Wenn \(16\) ein Teiler von \(a\) ist, so ist auch \(2\) ein Teiler von \(a\). |
Erklärung Lösung: Die Aussage "Wenn Rutschgefahr besteht, ist die Straße nass." ist nicht korrekt. Erläuterung: Wir wollen die gegebenen Aussagen zunächst formalisieren, um sie besser untersuchen zu können. Dazu führen wir die folgenden Abkürzungen ein: \(A \enspace : \enspace\) Es regnet. \(B \enspace : \enspace\) Die Straße ist nass. \(C \enspace : \enspace\) Es besteht Rutschgefahr. Mit Hilfe dieser Abkürzungen können wir nun die logische Form der bekannten Aussagen aus dem Alltag untersuchen. Der Satz "Wenn es regnet, wird die Straße nass." hat die Form \(A\implies B\) und die Aussage "Wenn die Straße nass ist, besteht Rutschgefahr." hat die Form \(B\implies C\). Nun betrachten wir die möglichen Antworten und stellen sie jeweils in ihrer logischen Form dar. Die Aussage "Wenn es regnet, besteht Rutschgefahr." hat die Form \(A\implies C\). Diese Aussage lässt sich aus den bekannten Aussagen mit einem Kettenschluss ableiten. Es gilt \(A\implies B\) und \(B\implies C\), also gilt auch \(A\implies C\). Die Aussage "Wenn keine Rutschgefahr besteht, regnet es nicht." hat die Form \(\neg C\implies \neg A\). Diese Aussage ist der Umkehrschluss von (und damit äquivalent zu) \(A\implies C\) und lässt sich daher auch aus den bekannten Aussagen ableiten, da \(A\implies C\) sich ableiten lässt, wie oben gezeigt wurde. Die Aussage "Wenn keine Rutschgefahr besteht, ist die Straße nicht nass." hat die Form \(\neg C\implies \neg B\). Diese Aussage ist der Umkehrschluss von \(B\implies C\) und lässt sich daher ebenfalls aus den bekannten Aussagen herleiten. Es verbleibt die Aussage "Wenn Rutschgefahr besteht, ist die Straße nass.", die die Form \(C\implies B\) hat. Diese Form lässt sich jedoch im Allgemeinen nicht aus \(A\implies B\) und \(B\implies C\) ableiten. Es kann hier ja auch sein, dass Rutschgefahr aus einem anderen Grund, als der Nässe der Straße, besteht. Es könnte zum Beispiel sein, dass ein Auto mit undichten Leitungen Öl verloren hat und nun ein Ölteppich auf der Straße ist, der für die Rutschgefahr sorgt. |  |
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