Beispiele Definition der Abtrennungsregel
Als Nächstes betrachten wir die Abtrennungsregel. Um diese Regel kennenzulernen, schauen wir uns das folgende Beispiel an.
Beispiel:
Es gelten die beiden folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | (1) Lisa hat \(15\,000.00 \ €\). |
(2) Wenn Lisa \(15\,000.00 \ €\)hat, so kann sie sich einen Neuwagen leisten. |
Aus (1) und (2) können wir dann die Aussage (3) schließen:
\(\qquad\) | (3) Lisa kann sich einen Neuwagen leisten. |
Die Abtrennungsregel besagt, dass wenn die Aussage "Wenn \(\alpha\), dann \(\beta\)" gilt und die Aussage \(\alpha\) wahr ist, dann gilt auch die Aussage \(\beta\). Wenn \(\alpha\) aber nicht zutrifft, dann wissen wir nichts über den Wahrheitsgehalt von \(\beta \). Die Aussage \(\beta\) kann wahr oder auch falsch sein.
Abtrennungsregel:
Für die Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) gilt die folgende Tautologie:
\(\qquad\) | \((\alpha \land (\alpha \implies \beta)) \implies \beta\enspace\) ist eine Tautologie |
Beweis
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \hspace{-0.8em} & \alpha \implies \beta & \alpha \land (\alpha \implies \beta) & (\alpha \land (\alpha \implies \beta))\\ & & \hspace{-0.8em} & & &\implies \beta\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Man nennt die Abtrennungsregel auch Modus ponens. Sie ist eine bereits seit der Antike bekannte Schlussregel.
\(\enspace\)