Definition der Abtrennungsregel Beispiele
Beispiel:
Gegeben sind die beiden folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | (1) Es regnet. |
(2) Wenn es regnet, wird die Straße nass. |
Regnet es, ist also die Aussage (1) wahr, so kann man mit der Abtrennungsregel folgern, dass die Straße nass wird. Regnet es nicht, ist die Aussage (1) falsch, so kann man keine Schlussfolgerung ziehen. Die Straße kann nass werden oder auch nicht.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | (1) Bello ist ein Hund. |
(2) Wenn Bello ein Hund ist, dann ist er ein Säugetier. |
Ist Bello ein Hund, ist also die Aussage (1) wahr, so kann man mit der Abtrennungsregel folgern, dass Bello ein Säugetier ist. Ist Bello kein Hund, ist die Aussage (1) falsch, so kann man keine Schlussfolgerung ziehen. Bello kann dann ein Säugetier sein oder nicht.
Beispiel:
Wir vereinfachen die folgende Aussage unter Anwendung logischer Regeln und Gesetze:
\(\qquad\) | \(\lnot(\lnot A \lor \lnot(\lnot B \implies \lnot A))\) |
Hierzu wenden wir die folgenden Umformungen an:
\(\qquad\) | \(\underbrace{\lnot(\lnot A \lor \lnot(\lnot B \implies \lnot A))}_{\textsf{Gesetze von De Morgan}}\) |
\(\qquad\) | \(\iff \enspace A \land \underbrace{(\lnot B \implies \lnot A)}_{\textsf{Umkehrschluss}}\) |
\(\qquad\) | \(\iff \enspace \underbrace{A \land (A \implies B)}_{\textsf{Abtrennungsregel}}\) |
\(\qquad\) | \(\implies \enspace B\) |
Wir haben also gezeigt, dass die folgende Aussage eine Tautologie ergeben muss:
\(\qquad\) | \((\lnot(\lnot A \lor \lnot(\lnot B \implies \lnot A))) \implies B\) |
Wahrheitstabellen
Wir zeigen dies als alternativen Beweis mit Wahrheitstabellen. Hierzu bilden wir erst die Wahrheitstabelle zu \(\lnot(\lnot A \lor \lnot(\lnot B \implies \lnot A))\):
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & \lnot A & \lnot B & \lnot B \implies \lnot A & \lnot (\lnot B \implies \lnot A) &\lnot A \lor \lnot (\lnot B\implies \lnot A) & \lnot (\lnot A \lor \lnot (\lnot B\implies \lnot A))\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}\ \\ \hline\end{array}\) |
Nun bilden wir die Implikation \((\lnot(\lnot A \lor \lnot(\lnot B \implies \lnot A)))\implies B\):
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & \lnot (\lnot A \lor \lnot (\lnot B\implies \lnot A)) & (\lnot (\lnot A \lor \lnot (\lnot B\implies \lnot A))) \implies B\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Implikation
\(\qquad\) | \((\lnot(\lnot A \lor \lnot(\lnot B \implies \lnot A)))\implies B\) |
ist also eine Tautologie.
Erklärung Lösung: Die korrekte Folgerung lautet: \(\enspace\alpha \implies \lnot A\) Erläuterung: Wir können \(\alpha\) wie folgt umformen:
Die korrekte Folgerung lautet also: \(\alpha \implies \lnot A\) Alle anderen Antwortmöglichkeiten sind falsch. Wir zeigen dies durch Wahrheitstabellen. Wahrheitstabelle für \(\alpha\) Zuerst bilden wir die Wahrheitstabelle für \(\alpha\):
Antwort \(\alpha \implies \lnot A\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies \lnot A\) lautet:
Die Aussage \(\alpha \implies \lnot A\) ist eine Tautologie. Antwort \(\alpha \implies A\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies A\) lautet:
Die Aussage \(\alpha \implies A\) ist keine Tautologie. Man kann dies also nicht folgern. Antwort \(\alpha \implies B\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies B\) lautet:
Die Aussage \(\alpha \implies B\) ist keine Tautologie. Man kann dies also nicht folgern. Antwort \(\alpha \implies (A \land \lnot B)\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies (A \land \lnot B)\) lautet:
Die Aussage \(\alpha \implies (A\land \lnot B)\) ist keine Tautologie. Man kann dies also nicht folgern. |  |
\(\enspace\)