Beispiele Definition der Aufhebungsregel
Als Nächstes betrachten wir die Aufhebungsregel. Um diese Regel kennenzulernen, schauen wir uns das folgende Beispiel an.
Beispiel:
Es gelten die beiden folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | (1) Theo kann keine Brötchen backen. |
(2) Wenn Theo Bäckermeister wäre, so könnte er Brötchen backen. |
Aus (1) und (2) können wir dann die Aussage (3) schließen:
\(\qquad\) | (3) Theo ist kein Bäckermeister. |
Die Aufhebungsregel besagt, dass wenn die Aussage "Wenn \(\alpha\), dann \(\beta\)" wahr ist und die Aussage \(\beta\) falsch ist, dann ist auch die Aussage \(\alpha\) falsch. Wenn \(\beta\) aber zutrifft, dann wissen wir nichts über den Wahrheitsgehalt von \(\alpha \). Die Aussage \(\alpha\) kann wahr oder auch falsch sein.
Aufhebungsregel:
Für die Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) gilt die folgende Tautologie:
\(\qquad\) | \((\lnot \beta \land (\alpha \implies \beta)) \implies \lnot \alpha\enspace\) ist eine Tautologie |
Beweis
Wir bilden die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \hspace{-0.8em} & \lnot \beta &\alpha \implies \beta & \lnot \beta \land (\alpha \implies \beta) &\lnot \alpha & (\lnot \beta \land (\alpha \implies \beta))\implies \lnot \alpha\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage ist eine Tautologie.
Man nennt die Aufhebungsregel auch Modus tollens.
\(\enspace\)