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Beispiel:
Gegeben sind die beiden folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | (1) Wenn es geregnet hat, ist die Straße nass. |
| (2) Die Straße ist nass. |
Ist die Straße nicht nass, ist also die Aussage (2) falsch, so kann man mit der Aufhebungsregel folgern, dass es nicht geregnet hat. Ist die Straße nass, ist die Aussage (2) also wahr, so kann man keine Schlussfolgerung ziehen. Es kann geregnet haben oder auch nicht.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | (1) Wenn Bello ein Hund ist, dann ist er ein Säugetier. |
| (2) Bello ist ein Säugetier. |
Ist Bello kein Säugetier, ist also die Aussage (2) falsch, so kann man mit der Aufhebungsregel folgern, dass Bello kein Hund ist. Ist Bello ein Säugetier, ist die Aussage (2) wahr, so kann man keine Schlussfolgerung ziehen. Bello kann dann ein Hund sein oder nicht.
Beispiel:
Wir vereinfachen die folgende Aussage unter Anwendung logischer Regeln und Gesetze:
\(\qquad\) | \(B \land (\lnot A \implies \lnot B)\) |
Hierzu wenden wir die Aufhebungsregel
\(\qquad\) | \((\lnot \beta \land (\alpha \implies \beta)) \implies \lnot \alpha\) |
an mit \(\alpha = \lnot A\) und \(\beta = \lnot B\). Dann ist nach dem Gesetz der doppelten Negation \(\lnot \alpha = \lnot (\lnot A)= A\) und \(\lnot \beta= \lnot (\lnot B)=B\). Wir können also \(A\) folgern.
Wir haben also gezeigt, dass die folgende Aussage eine Tautologie ergeben muss:
\(\qquad\) | \((B \land (\lnot A \implies \lnot B)) \implies A\) |
Wir zeigen dies als alternativen Beweis mit einer Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & \lnot A & \lnot B & \lnot A \implies \lnot B & B \land (\lnot A \implies \lnot B) & (B \land (\lnot A \implies \lnot B))\implies A \ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w} \ \\\hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Implikation
\(\qquad\) | \((B \land (\lnot A \implies \lnot B)) \implies A\) |
ist also eine Tautologie.
Lösung: Die korrekte Folgerung lautet: \(\enspace\alpha \implies C\) Erläuterung: Wir können \(\alpha\) wie folgt umformen: \(\qquad\) | \((\lnot A \land (A \lor \lnot B) \land (\lnot C \implies B))\) |
\(\qquad\) | \(\iff \enspace (\lnot A \land \underbrace{(A \lor \lnot B)}_{\textsf{Umwandlung in }\implies} \land (\lnot C \implies B))\) |
\(\qquad\) | \(\iff\enspace (\underbrace{\lnot A \land (B \implies A)}_{\textsf{Modus tollens}} \land (\lnot C \implies B))\) |
\(\qquad\) | \(\implies \enspace \underbrace{(\lnot B\land (\lnot C \implies B))}_{\textsf{Modus tollens}}\) |
\(\qquad\) | \(\implies \enspace C\) |
Die korrekte Folgerung lautet also: \(\alpha \implies C\) Alle anderen Antwortmöglichkeiten sind falsch. Wir zeigen dies durch Wahrheitstabellen. Wahrheitstabelle für \(\alpha\) Zuerst bilden wir die Wahrheitstabelle für \(\alpha\): \(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \hspace{-0.8em} & \lnot A & \lnot B & \lnot C & A \lor \lnot B & \lnot C \implies B & \lnot A \land (A \lor \lnot B) & \lnot A \land (A \lor \lnot B) \land (\lnot C \implies B)\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{w}& \mathrm{f}& \mathrm{w}& \mathrm{f}\ \\ \hline\end{array}\) |
Antwort \(\alpha \implies C\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies C\) lautet: \(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \hspace{-0.8em} & \alpha & \alpha \implies C\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} &\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em}& \mathrm{w}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage \(\alpha \implies C\) ist eine Tautologie. Antwort \(\alpha \implies A\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies A\) lautet: \(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \hspace{-0.8em} & \alpha & \alpha \implies A\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} &\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em}& \mathrm{w}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage \(\alpha \implies A\) ist keine Tautologie. Man kann dies also nicht folgern. Antwort \(\alpha \implies B\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies B\) lautet: \(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \hspace{-0.8em} & \alpha & \alpha \implies B\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} &\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em}& \mathrm{w}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage \(\alpha \implies B\) ist keine Tautologie. Man kann dies also nicht folgern. Antwort \(\alpha \implies \lnot C\) Die Wahrheitstabelle für \(\alpha \implies \lnot C\) lautet: \(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \hspace{-0.8em} & \lnot C & \alpha & \alpha \implies \lnot C\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} &\mathrm{f}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} &\mathrm{w} & \mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em}& \mathrm{f}&\mathrm{w}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Aussage \(\alpha \implies \lnot C\) ist keine Tautologie. Man kann dies also nicht folgern. | |
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Definition der Aufhebungsregel 