Lösung:
Die Aussage \(\lnot C\implies (\lnot A\land \lnot B)\) ist dann ebenfalls richtig.
Erläuterung:
Da \(A\implies C\) und \(B\implies C\) gelten, gelten auch die jeweiligen Umkehrschlüsse \(\lnot C\implies \lnot A\) und \(\lnot C\implies \lnot B\). Mit dem Distributivgesetz für Implikationen erhalten wir also:
\(\qquad\) | \(\lnot C\implies \left(\lnot A\land\lnot B\right)\) |
Wir zeigen nun, dass die anderen Antwortmöglichkeiten nicht logisch äquivalent zu \(((A \implies C) \land (B \implies C))\) sind. Hierfür betrachten wir den Fall, dass \(A\) und \(B\) wahr sind und dass \(C\) falsch ist. In diesem Fall ist \(A \implies C\) falsch und \(B \implies C\) ebenfalls. Die Aussage \(((A \implies C) \land (B \implies C))\) ist also falsch.
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Antwort \(\lnot A \implies \lnot B\):
Die Aussagen \(\lnot A\) und \(\lnot B\) sind dann beide falsch und die Implikation \(\lnot A \implies \lnot B\) wahr. \(\lnot A \implies \lnot B\) ist also nicht logisch äquivalent zu \(((A \implies C) \land (B \implies C))\). |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Antwort \(\lnot B \implies \lnot C\):
Die Aussage \(\lnot B\) ist dann falsch, die Aussage \(\lnot C\) wahr und die Implikation \(\lnot B \implies \lnot C\) wahr. \(\lnot B \implies \lnot C\) ist also nicht logisch äquivalent zu \(((A \implies C) \land (B \implies C))\). |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Antwort \(C \implies (A \lor B)\):
Die Aussage \(A \lor B\) ist dann wahr und die Aussage \(C \implies (A \lor B)\) ebenfalls. \(C \implies (A \lor B)\) ist also nicht logisch äquivalent zu \(((A \implies C) \land (B \implies C))\). |
Beispiele 