Lernmodul: Gesetze der Aussagenlogik

Aufgabe 2

Leiten Sie die Aufhebungsregel (Modus tollens)

\(\qquad\)

\((\lnot \beta \land (\alpha \implies \beta)) \implies \lnot \alpha\enspace\) ist eine Tautologie

aus der Abtrennungsregel (Modus ponens)

\(\qquad\)

\((\alpha \land (\alpha \implies \beta)) \implies \beta\enspace\) ist eine Tautologie

her.

Erklärung

Erläuterung:

Wir führen die folgenden Äquivalenzumformungen durch:

\(\qquad\)

\(((\alpha \land (\alpha \implies \beta)) \implies \beta)\)

\(\qquad\)	\(\enspace \iff \enspace\)	\(((\alpha \land (\lnot \beta \implies \lnot \alpha)) \implies \beta)\)	\(\enspace\)	Umkehrschluss angewandt auf die innere Klammer
	\(\enspace \iff \enspace\)	\(((\lnot \beta \land (\lnot \lnot \alpha \implies \lnot \lnot \beta)) \implies \lnot \alpha)\)		Substitution von \(\alpha \) durch \(\lnot \beta \) und von \(\beta \) durch \(\lnot \alpha\)
	\(\enspace \iff \enspace\)	\(((\lnot \beta \land (\alpha \implies \beta)) \implies \lnot \alpha)\)		Gesetz der doppelten Negation

\(\enspace\)