Notationen LoK Mathematische Grundlagen

Symbol

alternativ

Beschreibung / Beispiel

\(\pm, \mp\)

Plusminuszeichen, Minuspluszeichen
Beispiel: \(\enspace \pm 2\), d.h. \(+2\) oder \(-2\)
Beispiel: \(\enspace a \pm b=c \mp d\), d.h. \(a+b=c-d\) oder \(a-b=c+d\)

\(\div,\) /

\(:\,,\frac{\enspace}{}\)

Division (auch \(\frac{x}{y} = x \cdot y^{-1}\) )

:=

Die linke Seite wird durch die rechte Seite des Gleichheitszeichens definiert.
Beispiel: \(\enspace x:=3\), d.h. es wird festgelegt, dass \(x\) den Wert \(3\) hat.

\(<, \le\)

kleiner, kleiner oder gleich

\(\emptyset\)

\(\{\enspace\}\)

leere Menge
Menge, die keine Elemente enthält.

\(\{m \,|\, m \) hat die Eigenschaft \(E\}\)

Menge in beschreibender Darstellung
Beispiel: \(\enspace \{n\in\mathbb{N} \, | \, 1\le n \le 3\}\), d.h. die Menge der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\)

\(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{N}_0\)

Menge der natürlichen Zahlen
\(\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\dots\}\)

\(\mathbb{Z}\)

Menge der ganzen Zahlen
\(\mathbb{Z}=\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}\)

\(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)

Menge der irrationalen Zahlen
Alle Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann.
Beispiel: \(\enspace \sqrt{3}\)

\(\mathbb{R}^+\)

\(\mathbb{R}_+\)

Menge der positiven reellen Zahlen
\(\mathbb{R}^+=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x >0\}=\, ]0;\infty[\)

\(\mathbb{R}^-\)

\(\mathbb{R}_-\)

Menge der negativen reellen Zahlen
\(\mathbb{R}^-=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x <0\}=\, ]\infty;0[\)

\(A\subset B\)

echte Teilmenge, echte Untermenge
\(A\) ist in \(B\) enthalten, \(A\) ist aber nicht gleich \(B\)
Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\}\), d.h. \(A\subset B\), \(A\) ist eine echte Teilmenge von \(B\)

\(A\subseteq B\)

Teilmenge, Untermenge
\(A\) ist in \(B\) enthalten, \(A\) kann auch gleich \(B\) sein
Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{1,2\}\), d.h. \(A\subseteq B\), \(A\) ist eine Teilmenge von \(B\)

\(A\nsubseteq B\)

keine Teilmenge, keine Untermenge
\(A\) ist nicht in \(B\) enthalten
Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{2,3\}\), d.h. \(A\nsubseteq B\), \(A\) ist keine Teilmenge von \(B\)

\(A\cap B\)

Schnittmenge
Menge der Elemente, die gleichzeitig in der Menge \(A\) und in der Menge \(B\) vorhanden sind.
Sprechweise: \(A\) geschnitten \(B\)
Beispiel: \(\enspace A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}\), dann ist \(A \cap B = \{2,3\}\)

\(A\setminus B\)

Restmenge
Menge der Elemente, die in der Menge \(A\), aber nicht in der Menge \(B\) enthalten sind.
Sprechweise: \(A\) ohne \(B\)
Beispiel: \(\enspace \mathbb{R}\setminus{\{1\}}\), d.h. alle reellen Zahlen ohne die Zahl \(1\)

\(\notin\)

Kein-Element-Zeichen \(\notin\) einer Menge
Beispiel: \(\enspace -4\notin \mathbb{N}\), d.h. \(-4\) ist kein Element der Menge \(\mathbb{N}\)

\(a^b\)

Potenz \(a^b\)
Sprechweise: \(a\) hoch \(b\), \(a\) zur \(b\)-ten Potenz
Beispiel: \(\enspace2^4\), d.h. \(2\) hoch \(4\)

\(\sqrt[b]a\)

Wurzel \(\sqrt[b]{a}\)
Sprechweise: \(b\)-te Wurzel aus \(a\)
Beispiel: \(\enspace\sqrt[3]{8}\), d.h. dritte Wurzel aus \(8\)

\(\vert A \vert\)

Mächtigkeit oder Kardinalität der endlichen Menge \(A\)
Beispiel: \(\enspace \vert A \vert = 3\enspace\) mit \(\enspace A=\{4,5,6\}\)

\(A \times B\)

kartesisches Produkt \(A \times B\)
Menge aller geordneter Paare der Mengen \(A\) und \(B\)
Sprechweise: \(A\) kreuz \(B\)
Beispiel: \(\enspace \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 = \{(x|y)\, | \,x,y\in \mathbb{R}\}\)

\((x|y)\)

geordnetes Paar im \(\mathbb{R}^2\), kartesische Koordinaten
Beispiel: \(\enspace(0|0)\) ist der Nullpunkt im \(\mathbb{R}^2\)

\(n!\)

Fakultät \(n!\)
Produkt der Zahlen \(1,2, \ldots , n\)
Sprechweise: \(n\) Fakultät
Beispiel: \(\enspace 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)

\(\bar{a}_{\textsf{arith}} \)

arithmetisches Mittel
\(\bar{a}_{\textsf{arith}} := \dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n}\)
Beispiel: \(\enspace \bar{a}_{\textsf{arith}} = \dfrac{1+2+3+4}{4}=2.5\), d.h. das arithmetische Mittel der Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) beträgt \(2.5\)

\(\bar{a}_{\textsf{geom}} \)

geometrisches Mittel
\(\bar{a}_{\textsf{geom}} := \sqrt[n]{\mathstrut a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}\quad\)
Beispiel: \(\enspace \bar{a}_{\textsf{geom}} = \sqrt[4]{\mathstrut 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\approx 2.21\), d.h. das geometrische Mittel der Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) beträgt ungefähr \(2.21\)

\(\iff\)

Äquivalenz, Genau-dann-wenn-Verknüpfung
Beispiel: \(\enspace(a=5\) oder \(a=-5) \iff (a^2 = 25)\)
Genau dann, wenn \(a=5\) oder \(a=-5\), dann ist \(a^2=25\).

\(\sum\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\)

Summenzeichen \(\sum\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\)
mit Laufvariable \(i\), Startwert \(m\), Endwert \(n\) und Summenterm \(a_i\)
Beispiel: \(\enspace \sum\limits_{i\ =\ 1}^{3}i=1+2+3=6\)

\(\forall\)

All-Quantor
abkürzende Schreibweise für alle betrachteten Objekte
Sprechweise für \(\forall \ x\): "für alle \(x\) gilt", "für jedes \(x\) gilt", "für beliebige \(x\) gilt"

\(\lnot\)

Negation
Umkehren des Wahrheitswertes der Aussage
Sprechweise für \(\lnot A\): nicht \(A\)

\(\lor\)

Disjunktion, Oder-Verknüpfung
Die komplexe Aussage \(A \lor B\) ist wahr, wenn entweder die Aussage \(A\) oder die Aussage \(B\) oder beide wahr sind.
Sprechweise für \(A \lor B\): \(A\) oder \(B\)

\(\blacksquare, \Box,\) q.e.d.

Beweis-Ende-Zeichen
Beweise werden mit einem der Halmos-Zeichen \(\blacksquare\) oder \(\Box\) abgeschlossen oder durch die Angabe "q.e.d." (latein "quod erat demonstrandum", "was zu beweisen war").