Lernmodul: Trigonometrische Funktionen

Funktionen

Einleitung in das Themengebiet

Die Trigonometrie (Dreiecksmessung, von griech. "trígonon" = Dreieck und "métron" = Maß) setzt sich auseinander mit der Berechnung ebener Dreiecke unter Verwendung der trigonometrischen Funktionen oder Winkelfunktionen \(\sin\) (Sinus), \(\cos\) (Kosinus), \(\tan\) (Tangens), \(\cot\) (Kotangens). Aus bekannten Größen eines Dreiecks (Seitenlängen, Winkelgrößen, Längen von Dreieckstransversalen usw.) lassen sich mit Hilfe dieser Funktionen andere Größen dieses Dreiecks berechnen. Schon früh machte man sich die Erkenntnis zunutze, dass durch Übertragung von Längen- und Winkel-Verhältnissen im Dreieck Entfernungen oder Flächen berechnet werden können, ohne sie direkt abzumessen. In diesem Lernmodul werden wir die trigonometrischen Funktionen zunächst an rechtwinkligen Dreiecken definieren, für die Anwendung an beliebigen Dreiecken nutzen wir dann den Einheitskreis.
Die Abbildungen zeigen historische Gerätschaften zur Dreiecks- und Winkelmessung:
Quelle: Hans-Joachim Vollrath (1999) Historische Winkelmeßgeräte in Projekten des Mathematikunterrichts. Der Mathematikunterricht 45 Heft 4 (1999), 42-58
Die Bezeichnung Sinus (lat. Bogen, Krümmung) wurde als Übersetzung der arabischen Bezeichnung "gaib" oder "jiba" (جيب) (Tasche, Kleiderfalte) gewählt, die wiederum eine Übersetzung des indischen "jiva" (Bogensehne) war. Der Kosinus ergibt sich aus "Complementi Sinus", also Sinus des Komplementärwinkels. Die Bezeichnung Tangens wurde erst im Mittelalter eingeführt, sie leitet sich von "Tangente" ab (lat.: tangere = berühren). Der Kotangens ergibt sich dann wieder aus "Complementi Tangens", also Tangens des Komplementärwinkels.
Die Trigonometrie spielte nicht nur im Alltag, z.B. in der Landschaftsvermessung, sondern auch in der Wissenschaft, vor allem in der Astronomie, eine entscheidende Rolle. Heutzutage begegnen wir den trigonometrischen Funktionen in allen technischen Disziplinen, die sich mit Schwingungen, Wellen und periodischen Prozessen beschäftigen, also etwa bei Untersuchungen an Motoren, bei Wechselstromkreisen oder in der Nachrichtentechnik.
Nach Durcharbeiten dieses Lernmoduls können Sie:
  • für einen spitzen Winkel \(\alpha\) die Begriffe "Sinus" und "Kosinus" an einem rechtwinkligen Dreieck erklären,
  • Winkel vom Grad- ins Bogenmaß umrechnen,
  • die Bedeutung der Erweiterung der Definitionen von Sinus und Kosinus am Einheitskreis für beliebige Winkel (im Grad- oder im Bogenmaß) erkennen,
  • grundlegende Eigenschaften der Sinus- und der Kosinusfunktion anwenden.
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