3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

Dieser Kurs dient zur Auffrischung Ihrer Kenntnisse über Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.

Sollten Sie in diesem Lernmodul auf mathematische Ausdrücke / Formulierungen treffen, die Ihnen unbekannt sind, empfehlen wir Ihnen die Bearbeitung des Kurses "0 Mathematische Grundlagen".

Der Kurs "3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen" ist für eine Bearbeitungszeit von 10 bis 12 Stunden ausgelegt. Dies ist allerdings nur ein Richtwert. Je nach Vorwissen und individuellem Tempo kann es natürlich sein, dass Sie mehr oder deutlich weniger Zeit benötigen. (Ein entsprechender Zeitplan kann Ihnen zur Planung ihrer individuellen Lernzeit behilflich sein.)

Der Kurs hat drei übergeordnete Lernziele:

Lernziel 3.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Im dazugehörigen Lernmodul geht es um das Bilden von Potenzen \(a^b\) mit reeller Basis \(a\) und ganzzahligen Exponenten \(b\). Das Rechnen mit Potenzen erfolgt anhand von Rechenregeln. In diesem Lernmodul wird das Rechnen mit Binomen erneut aufgegriffen und die binomischen Formeln verallgemeinert. Dies führt zum binomischen Lehrsatz. Außerdem werden zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen von Potenzen betrachtet: Einerseits kann der Exponent einer Potenz eine konstante Zahl sein und die Basis variieren, andererseits kann die Basis eine konstante Zahl sein und der Exponent variieren. Beide Betrachtungsweisen führen zu unterschiedlichem Wachstumsverhalten von Potenzen.

Lernziel 3.2 Wurzeln und Potenzen mit rationalen und irrationalen Exponenten
In zweiten Lernmodul werden zunächst Potenzen mit reeller Basis und rationalen Exponenten betrachtet. Das Lösen der Gleichung \(x^n=a\) führt zur \(n\)-ten Wurzel der positiven Zahl \(a\). Auch für das Rechnen mit Wurzeln gibt es Rechenregeln. Weiterhin werden Potenzen mit irrationalen Exponenten betrachtet. Berechnen lässt sich eine Potenz mit einem irrationalen Exponenten anhand einer Zahlenfolge, deren Werte sich immer mehr dem tatsächlichen Wert der Potenz annähern. Eine besondere Rolle spielen Potenzen, deren Basis die Eulersche Zahl \(e\) ist. Viele Wachstumsprozesse lassen sich mit der Exponentialfunktion \(e^x\) beschreiben.

Lernziel 3.3 Logarithmen
Im dritten Lernmodul werden Lösungen der Exponentialgleichung \(b^x=a\) mit positiver Basis \(b\) betrachtet. Dies führt zu Logarithmen zur Basis \(b\). Je nach Basis unterscheidet man unterschiedliche Logarithmen. Wichtige Logarithmen sind die Logarithmen zur Basis \(2\), zur Basis \(10\) und zur Basis \(e\). Aus den Rechenregeln für Potenzen lassen sich Rechenregeln für Logarithmen ableiten. In diesem Lernmodul beschäftigen wir uns auch mit den unterschiedlichen Lösungsmöglichkeiten von Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen.

Im Folgenden können Sie sich zur besseren Planung Ihrer Bearbeitungszeit eine vorstrukturierte Zeitplanvorlage herunterladen und überlegen, wann und wie lange Sie die Aufgaben entsprechend Ihrer vorhandenden Möglichkeiten bearbeiten können.